Algèbre linéaire Exemples

Trouver les valeurs propres [[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]
Étape 1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 3
Remplacez les valeurs connues dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez par .
Étape 3.2
Remplacez par .
Étape 4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.5.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.5.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.1.2.7
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.7.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.8
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.9
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.9.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.9.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.10
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.10.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.10.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.11
Multipliez par .
Étape 4.1.2.12
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.12.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.12.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.13
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.13.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.13.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.14
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.14.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.14.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.15
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.15.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.15.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.16
Multipliez par .
Étape 4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Additionnez et .
Étape 4.3.2
Additionnez et .
Étape 4.3.3
Additionnez et .
Étape 4.3.4
Additionnez et .
Étape 4.3.5
Additionnez et .
Étape 4.3.6
Additionnez et .
Étape 4.3.7
Additionnez et .
Étape 4.3.8
Additionnez et .
Étape 4.3.9
Additionnez et .
Étape 4.3.10
Additionnez et .
Étape 4.3.11
Additionnez et .
Étape 4.3.12
Additionnez et .
Étape 5
Find the determinant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.9
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.10
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.11
Add the terms together.
Étape 5.2
Multipliez par .
Étape 5.3
Multipliez par .
Étape 5.4
Multipliez par .
Étape 5.5
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.9
Add the terms together.
Étape 5.5.2
Multipliez par .
Étape 5.5.3
Multipliez par .
Étape 5.5.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.5.4.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.5.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.2
Additionnez et .
Étape 5.5.4.2.3
Déplacez .
Étape 5.5.4.2.4
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.5.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.5.1
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.5.1.1
Additionnez et .
Étape 5.5.5.1.2
Additionnez et .
Étape 5.5.5.2
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 5.5.5.3
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.5.3.1
Multipliez par .
Étape 5.5.5.3.2
Multipliez par .
Étape 5.5.5.3.3
Multipliez par .
Étape 5.5.5.3.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.5.3.4.1
Déplacez .
Étape 5.5.5.3.4.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.5.3.4.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.5.3.4.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.5.5.3.4.3
Additionnez et .
Étape 5.5.5.3.5
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.5.5.3.6
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.5.3.6.1
Déplacez .
Étape 5.5.5.3.6.2
Multipliez par .
Étape 5.5.5.3.7
Multipliez par .
Étape 5.5.5.3.8
Multipliez par .
Étape 5.5.5.4
Additionnez et .
Étape 5.5.5.5
Soustrayez de .
Étape 5.5.5.6
Déplacez .
Étape 5.5.5.7
Déplacez .
Étape 5.5.5.8
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.6
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.1
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.1.1
Additionnez et .
Étape 5.6.1.2
Additionnez et .
Étape 5.6.1.3
Additionnez et .
Étape 5.6.2
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 5.6.3
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.3.1
Multipliez par .
Étape 5.6.3.2
Multipliez par .
Étape 5.6.3.3
Multipliez par .
Étape 5.6.3.4
Multipliez par .
Étape 5.6.3.5
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.6.3.6
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.3.6.1
Déplacez .
Étape 5.6.3.6.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.3.6.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.6.3.6.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.6.3.6.3
Additionnez et .
Étape 5.6.3.7
Multipliez par .
Étape 5.6.3.8
Multipliez par .
Étape 5.6.3.9
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.6.3.10
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.3.10.1
Déplacez .
Étape 5.6.3.10.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.3.10.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.6.3.10.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.6.3.10.3
Additionnez et .
Étape 5.6.3.11
Multipliez par .
Étape 5.6.3.12
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.6.3.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.3.13.1
Déplacez .
Étape 5.6.3.13.2
Multipliez par .
Étape 5.6.3.14
Multipliez par .
Étape 5.6.3.15
Multipliez par .
Étape 5.6.4
Soustrayez de .
Étape 5.6.5
Additionnez et .
Étape 5.6.6
Soustrayez de .
Étape 5.6.7
Déplacez .
Étape 5.6.8
Déplacez .
Étape 5.6.9
Déplacez .
Étape 5.6.10
Remettez dans l’ordre et .
Étape 6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 7
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Factorisez en utilisant le théorème du binôme.
Étape 7.2
Définissez le égal à .
Étape 7.3
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 7.3.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 7.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 7.3.2.2.2
Divisez par .
Étape 7.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.2.3.1
Divisez par .